Question

14．已知函数f（x）=（a-2）a^x（a＞0，且a≠1），若对任意x₁，x₂∈R，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则a的取值范围是a＞2或0＜a＜1．

Answer 1

分析 利用已知条件判断函数的单调性，然后列出不等式组求解即可．

解答 解：对任意x₁，x₂∈R，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，由函数的单调性的定义可知函数是增函数，
函数f（x）=（a-2）a^x（a＞0，且a≠1），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{a＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，
解得a＞2或0＜a＜1．
故答案为：a＞2或0＜a＜1．

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力．