Question

2．已知等差数列{a_n}的各项均为正数，其公差为2，a₂a₄=4a₃+1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求a₁+a₃+a₉+…+${a}_{{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由已知列出关于公差的方程解之，求出通项公式；
（2）结合（1）的结论得到${a}_{{3}^{n}}$的通项公式，注意n≥0，利用分组求和解答．

解答 解：（1）等差数列{a_n}的各项均为正数，其公差为2，a₂a₄=4a₃+1．所以（a₁+2）（a₁+6）=4a₁+17，解得a₁=5或者-1（舍去）．
所以{a_n}的通项公式为a_n=2n+3；
（2）由（1）得到${a}_{{3}^{n}}$=2×3ⁿ+3，所以a₁+a₃+a₉+…a${\;}_{{3}^{n}}$=3（n+1）+2×$\frac{1-{3}^{n+1}}{1-3}$=3n+$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}×{3}^{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式的求法以及利用分组求和解决数列求和问题；属于中档题．