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    12．已知点A，B的坐标分别为（2，0）、（-2，0），直线AT、BT交与点T，且它们的斜率之积为常数-λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C
    （Ⅰ）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；
    （Ⅱ）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最近距离为1，设直线l：y=（x-1）交曲线C于E，F两点，交x轴于点Q，直线AE、AF分别交直线x=3于点N、M．记线段MN的中点为P，直线PQ的斜率为k′．求证：k•k′为定值．

    分析 （1）设T（x，y），利用直线的斜率公式，取得斜率之积，化简整理得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4λ}=1$（λ＞0，λ≠1）根据λ的取值范围，求得椭圆方程及焦点坐标；
    （2）椭圆长轴端点到同侧焦点的距离是椭圆上的点到焦点的最近距离，求得λ的值，进而求出曲线C的方程为，直线y=k（x-1）交x轴于Q（1，0），联立椭圆方程，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明k•k′为定值．

    解答 解：（Ⅰ）设T（x，y），则$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-λ，化简得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4{λ}^{2}}=1$（x≠±2）．
    又A，B的坐标（2，0）、（-2，0），也符合上式．
    故曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4λ}=1$（λ＞0，λ≠1）．
    当0＜λ＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为（-$\sqrt{1-λ}$，0），（$\sqrt{1-λ}$，0）；
    当λ＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点为（0，-2$\sqrt{λ-1}$），（0，2$\sqrt{λ-1}$）．

    （Ⅱ）证明：由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其焦点为（-$\sqrt{1-λ}$，0），（$\sqrt{1-λ}$，0），
    椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离是椭圆上的点到焦点的最近距离．
    故2-2$\sqrt{1-λ}$=1，解得：λ=$\frac{3}{4}$，
    曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
    直线y=k（x-1）交x轴于Q（1，0），设E（x1，y1），F（x2，y2），
    $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
    ∴x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，①x1x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，②
    直线AE方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），交直线x=3于点N（3，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
    直线AF方程为：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），交直线x=3于点（3，$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$），
    ∴线段MN的中点为P（3，$\frac{1}{2}$（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$））．
    ∴直线PQ的斜率为：
    k′=$\frac{\frac{1}{2}（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）}{3-1}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{4[{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4k}{4[{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4]}$③
    将①②代入③式化简得k′=-$\frac{3}{4k}$，
    ∴k•k′=-$\frac{3}{4}$，
    ∴k•k′为定值．

    点评 本题考查曲线方程及焦点坐标的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线方程的性质的合理运用，属于中档题．

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