Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a+2c-b）cosC=（a+c）cosB+bcosA，若c=3，则a+b的最大值为6．

Answer 1

分析 由（2a+2c-b）cosC=（a+c）cosB+bcosA，由正弦定理可得：（2sinA+2sinC-sinB）cosC=（sinA+sinC）cosB+sinBcosA，利用和差公式、诱导公式化为：cosC=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π）．再利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由（2a+2c-b）cosC=（a+c）cosB+bcosA，
由正弦定理可得：（2sinA+2sinC-sinB）cosC=（sinA+sinC）cosB+sinBcosA，
∴2cosC（sinA+sinC）=sinC+sinA，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π）．
∴C=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：9=c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3}{4}$（a+b）²．
∴a+b≤6，当且仅当a=b=3时取等号，a+b的最大值为6．
故答案为：6．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．