Question

8．已知O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线C上一点P满足PF₁⊥PF₂，且|PF₁||PF₂|=2a²，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设P为双曲线右支上一点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，结合已知条件，由离心率公式即可得到所求值．

解答 解：设P为双曲线右支上一点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，
由双曲线的定义可得m-n=2a，
点P满足PF₁⊥PF₂，可得m²+n²=4c²，
即有（m-n）²+2mn=4c²，
又mn=2a²，
可得4a²+4a²=4c²，
即有c=$\sqrt{2}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，考查离心率的求法，以及运算能力，属于基础题．