Question

19．已知函数g（x）=lnx，f（x）=ag（x）+$\frac{a+1}{x}$-2（a+1），（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）将函数f（x）解析式中的g（x）改为g（x）的反函数得函数h（x），若x＞0时，h（x）≥0．求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）写出f（x）的解析式，求f（x）的导数，利用导数判定f（x）的单调性与单调区间；
（2）由反函数的定义写出h（x）解析式，利用x＞0时h（x）≥0，得不等式h（1）≥0，求出a的取值范围，
再由$a{e^x}+\frac{a+1}{x}-2（a+1）≥0$，得$\frac{a}{a+1}≥\frac{2x-1}{{x{e^x}}}$，x∈（0，+∞）；
构造函数$u（x）=\frac{2x-1}{{x{e^x}}}，x∈（0，+∞）$，利用导数求出[u（x）]_min，
解不等式$\frac{a}{a+1}$≥$\frac{1}{e}$，求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵g（x）=lnx，
∴f（x）=ag（x）+$\frac{a+1}{x}$-2（a+1）=alnx+$\frac{a+1}{x}$-2（a+1），（a∈R）；
∴f（x）定义域为（0，+∞），
且$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{a+1}{x^2}=\frac{ax-（a+1）}{x^2}$；…（2分）
①当-1≤a≤0时，f'（x）＜0，即f（x）的单调减区间为（0，+∞）；…（3分）
②当a＞0时，f（x）的单调增区间为$（\frac{a+1}{a}，+∞）$，
单调减区间为$（0，\frac{a+1}{a}）$；…（4分）
③当a＜-1时，f（x）的单调增区间为$（0，\frac{a+1}{a}）$，
单调减区间为$（\frac{a+1}{a}，+∞）$；…（5分）
（2）由题意得$h（x）=a{e^x}+\frac{a+1}{x}-2（a+1）$，…（6分）
∵x＞0时，h（x）≥0，∴h（1）≥0，
则a（e-1）≥1，即$a≥\frac{1}{e-1}＞0$；…（7分）
则由$a{e^x}+\frac{a+1}{x}-2（a+1）≥0$，得$\frac{a}{a+1}{e^x}+\frac{1}{x}-2≥0$，
即$\frac{a}{a+1}≥\frac{2x-1}{{x{e^x}}}$，x∈（0，+∞）；…（8分）
设$u（x）=\frac{2x-1}{{x{e^x}}}，x∈（0，+∞）$，
则$u'（x）=-\frac{（2x+1）（x-1）}{{{x^2}{e^x}}}$；
令u'（x）=0，解得x=1或x=-$\frac{1}{2}$∉（0，+∞）舍去；…（10分）
u'（x）＜0时，x∈（0，1）；u′（x）＞0 时，x∈（1，+∞）；
∴[u（x）]_min=u（1）=$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{a}{a+1}$≥$\frac{1}{e}$，解得a≥$\frac{1}{e-1}$；
故a的取值范围是[$\frac{1}{e-1}$，+∞）． …（12分）

点评 本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了导数的综合应用问题，是综合性题目．