Question

如图，将圆p：x²+y²=4上任意一点P′的纵坐标变为原来的一半（横坐标不变），得到点P，并设点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）设o为坐标原点，过点Q（

3

，0）的直线l与曲线C交于两点A，B，线段AB的中点为N，且

OE

=2

ON

，点E在曲线C上，求直线l：

x

a

+

y

b

=1的方程．

Answer 1

（1）设点P（x，y），点P′（x′，y′），由题意可知

x′=x y′=2y

，…（2分）
又∵x′²+y′²=4，…（3分）
∴x2+4y2=4⇒

x2

4

+y2=1．…（5分）
∴点M的轨迹C的方程为

x2

4

+y2=1．…（6分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
点N的坐标为（x₀，y₀），
①当直线l与x轴重合时，线段AB的中点N就是原点O，不合题意，舍去；…（7分）
②设直线l：x=my+

3

，
由

x=my+ 3 x2+4y2=4

，消去x，得(m2+4)y2+2

3

my-1=0…（8分）
∴y0=

y1+y2

2

=-

3 m

m2+4

，…（9分）
∴x0=my0+

3

=-

3 m2

m2+4

+

3 m2+4 3

m2+4

=

4 3

m2+4

，…（10分）
∴点N的坐标为(

4 3

m2+4

，-

3 m

m2+4

)．…（11分）
由

OE

=2

ON

，则点E的为(

8 3

m2+4

，-

2 3 m

m2+4

)，…（12分）
由点E在曲线C上，
得

48

(m2+4)2

+

12m2

(m2+4)2

=1，
即m⁴-4m²-32=0，∴m²=8（m²=-4舍去）．…（13分）
∴直线l的方程为x±2

2

y-

3

=0…（14分）