Question

7．如图所示，已知在四棱锥，P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，且PA=PB=$\sqrt{2}$，CD∥AB，AD⊥AB，AD=CD=1
（1）试在线段AP上找一点M，使DM∥平面PBC并说明理；
（2）求二面角M-DC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结CO，PO，以O为原点，OP为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当M是AP中点时，DM∥平面PBC．
（2）求出平面DCM的法向量和平面DCP的法向量，利用向量法能求出二面角M-DC-P的余弦值．

解答 解：（1）取AB中点O，连结CO，PO，
∵在四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，且PA=PB=$\sqrt{2}$，CD∥AB，AD⊥AB，AD=CD=1，
∴CO⊥平面PAB，OP⊥AB，
以O为原点，OP为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，
P（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），A（0，-1，0），D（0，-1，1），
$\overrightarrow{PB}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（-1，0，1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设M（a，b，c），$\overrightarrow{AM}$=$λ\overrightarrow{AP}$，即（a，b+1，c）=（λ，λ，0），∴a=λ，b=λ-1，c=0，
∴M（λ，λ-1，0），$\overrightarrow{DM}$=（λ+1，λ-1，-1），
∵DM∥平面PBC，∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{n}$=λ+1+λ-1-1=0，解得λ=$\frac{1}{2}$．
∴当M是AP中点时，DM∥平面PBC．
（2）由（1）得M（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{DP}$=（1，1，-1），
设平面DCM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}={y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}={\frac{1}{2}}_{\;}{x}_{1}+\frac{1}{2}{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，0，1），
设平面DCP的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{DC}={y}_{2}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{DP}={x}_{2}+{y}_{2}-{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₂=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，0，1），
设二面角M-DC-P的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角M-DC-P的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．