Question

19．若对任意x＞0，$\frac{x}{{{x^2}+3x+1}}$≤a恒成立，则a的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 根据基本不等式，将不等式恒成立转化为求函数的最大值即可得到结论．

解答 解：$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+3+\frac{1}{x}}$，
∵x＞0，
∴x+3+$\frac{1}{x}$≥3+2 $\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=3+2=5，当且仅当x=$\frac{1}{x}$，
即x=1时取等号，
∴0＜$\frac{1}{x+3+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{5}$，
∴要 $\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，
则a≥$\frac{1}{5}$，
故a的最小值为$\frac{1}{5}$，
故选：C．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，将条件转化为基本不等式形式是解决本题的关键．