Question

14．如图，直线PO与直径为4的圆O交于B，C两点，且PC=2，直线PA切圆O于点A
（Ⅰ）证明：AB=AP；
（Ⅱ）若AM⊥PB，延长MC交AP于点N，求证：MN⊥PA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出∠P=∠B=30°，即可证明：AB=AP；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠M=∠B=30°=∠P，利用AM⊥PB，证明：MN⊥PA．

解答 证明：（Ⅰ）∵直线PO与直径为4的圆O交于B，C两点，且PC=2，直线PA切圆O于点A，
∴PA²=PC•PB=12，
∴PA=2$\sqrt{3}$，
∴∠P=30°，∠AOP=60°，
∵OA=OB，
∴∠B=30°，
∴∠P=∠B，
∴AB=AP；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠M=∠B=30°=∠P，
∵AM⊥PB，
∴MN⊥PA．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查等腰三角形的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．