Question

6．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：
（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；
（3）二面角A-CE-F的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A′F与CE所成的角的大小．
（2）求出$\overrightarrow{{A}^{'}F}$和平面ABC′D′的法向量，利用向量法能求出直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．
（3）求出平面ACE的法向量和平面CEF的法向量，利用向量法能求出二面角A-CE-F的大小．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
A′（2，0，2），F（2，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
$\overrightarrow{{A}^{'}F}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{CE}$=（2，-1，2），
设异面直线A′F与CE所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{A}^{'}F}$，$\overrightarrow{CE}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}F}•\overrightarrow{CE}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}F}|•|\overrightarrow{CE}|}$
=$\frac{5}{\sqrt{5}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴异面直线A′F与CE所成的角的大小为arccos$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
（2）$\overrightarrow{{A}^{'}F}$=（0，1，-2），A（2，0，0），B（2，2，0），D′（0，0，2），
$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{A{D}^{'}}$=（-2，0，2），
设平面ABC′D′的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AB}=2{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{A{D}^{'}}=-2{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，0，1），
设直线A′F与平面ABC′D′所成的角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{{A}^{'}F}$，$\overrightarrow{p}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}F}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}F}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（3）A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0），
$\overrightarrow{CE}$=（2，-1，2），$\overrightarrow{CA}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{CF}$=（2，-1，0），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{1}{2}$），
设平面CEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=2a-b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=2a-b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，0），
设二面角A-CE-F的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{9}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-CE-F的大小为arccos$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线面角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．