Question

13．过点P（1，3$\sqrt{3}$）作直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则AB长度的最小值为8．

Answer 1

分析 把AB 分成AP+PB，设∠BAO=α，用α的正弦、余弦表示AB，把AB看成函数，则函数的导数等于0时，AB取最小值，求出α的值，即得AB取最小值．

解答 解：设∠BAO=α，则y=|AB|=|AP|+|PB|=$\frac{1}{cosα}$+$\frac{3\sqrt{3}}{sinα}$，
y′=$\frac{-3\sqrt{3}cosα}{si{n}^{2}α}$+$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$，
当y′=0时，|AB|最小．
y′=0，即$\frac{-3\sqrt{3}cosα}{si{n}^{2}α}$+$\frac{sinα}{co{s}^{2}α}$=0，tanα=$\sqrt{3}$，α=60°，
∴|AB|最小为2+6=8，
故答案为：8．

点评 本题考查直线过定点问题，把AB看成函数，利用导数求函数最值．