Question

8．如图，已知线段AC为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，切点为A，B为⊙O上一点，且BC∥PO．
（I）求证：PB为⊙O的切线
（Ⅱ）若⊙O的半径为1，PA=3，求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OB，由圆周角与圆心角的关系和两直线平行的性质，证得△AOP≌△BOP，再由圆的切线的定义，即可得证；
（Ⅱ）连接AB，由（Ⅰ）可得△PAO∽△ABC，由相似三角形的性质，可得对应边成比例，结合勾股定理，即可得到所求值．

解答 证：（Ⅰ）连接OB，∵$∠BCA=\frac{1}{2}∠AOB$=∠BOP，
又∵BC∥PO，∴∠POA=∠BCA，
∴∠AOP=∠BOP，又∵OA=OB，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠OAP=∠OBP，
∴∠OBP=90°．
可得PB为⊙O的切线；
解：（Ⅱ）连接AB，线段AC为⊙O的直径，
可得△ABC为直角三角形．
由∠PAO=∠ABC=90°，∠POA=∠BCA，
可得△PAO∽△ABC，
则$\frac{BC}{OA}=\frac{AC}{OP}$，
又PA为⊙O的切线，可得△PAO为直角三角形，
⊙O的半径为1，PA=3，可得AC=2，OP=$\sqrt{O{A}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
则BC=$\frac{OA•AC}{OP}$=$\frac{1×2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查圆的切线的性质、圆周角与圆心角的关系、相似（全等）三角形的判定和性质和勾股定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．