Question

17．如图，DE是⊙O的直径，过⊙O上的点C作直线AB，交ED的延长线于点B，且OA=OB，CA=CB，连结EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明：OC⊥AB，即可证明直线AB是⊙O的切线；
（2）△ECD中，tan∠CED=$\frac{1}{2}$，$\frac{BE}{BD}$=4，即可求OA的长．

解答 （1）证明：连接OC，
因为OA=OB，CA=CB，
所以OC⊥AB，
所以直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵直线AB是⊙O的切线，
∴∠E=∠BCD，
∵∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCD，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴$（\frac{CE}{CD}）^{2}$=$\frac{BE}{BD}$，
∵DE是⊙O的直径，
∴EC⊥CD．
△ECD中，tan∠CED=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{BE}{BD}$=4，
∴$\frac{BD+6}{BD}$=4，
∴BD=2，OA=5．

点评 本题考查圆的切线的证明，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．