Question

12．已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数．
（1）求函数h（x）=xe^2f（x）的单调增区间；
（2）若函数g（x）=（λ+a）x-cosx（x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）是减函数，且对任意实数λ都满足g（x）≤λt-1，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，f（x）+f（-x）=0，代入求得a的值，求得h（x）的解析式，求导，令h′（x）＞0，即可求得h（x）单调增区间；
（2）由g（x）在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]是减函数，求导，g（′x）=λ+sinx（x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）上恒小于0，求得λ的取值范围，且函数g（x）的最大值是$\frac{π}{3}$λ-$\frac{1}{2}$≤λt-1，分离变量得t≤$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2λ}$，根据$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2λ}$在（-∞，-1）上是减函数，即可求得实数t的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数．
f（x）+f（-x）=0，ln（e^x+a）+ln（e^-x+a）=0，即（e^x+a）•（e^-x+a）=1，
整理得：a（e^-x+e^x+a=）=0恒成立，解得：a=0，
f（x）=x，
h（x）=xe^2f（x）=xe^2x，
h′（x）=e^2x（2x+1），
令h′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{1}{2}$，
∴函数h（x）的单调递增区间为（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）由（1）可知：a=0，g（x）=λx-cosx（x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）是减函数，
g（′x）=λ+sinx（x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）上恒小于0，
即λ＜sinx，（x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）上恒成立，
解得：λ＜-1，
g（x）=λx-cosx在区间[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上减函数，
故函数g（x）的最大值是$\frac{π}{3}$λ-$\frac{1}{2}$≤λt-1，
即t≤$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2λ}$，
由λ＜-1，
$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2λ}$在（-∞，-1）上是减函数，
故t＜$\frac{π}{3}$-$\frac{1}{2}$，
实数t的取值范围（-∞，$\frac{π}{3}$-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题卡从函数的单调性和奇偶性以及函数恒成立问题，考查导数在求函数的单调性及最值中的综合应用，考查转化思想，属于中档题．