Question

7．对于定义在R上的函数f（x）满足两个条件：①当x∈[0，1]时，f（0）=0，f（1）=e，f（x）-f′（x）＜0；②e^x-1f（x+1）=e^x+1f（x-1），e^1-xf（x+1）=e^x+1f（1-x），若函数y=f（x）-$\frac{x{e}^{x}}{2016}$零点的个数为（　　）

• A． 1008
• B． 2015
• C． 2016
• D． 2017

Answer 1

分析 构造函数h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根据条件判断函数的周期性和对称性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数与方程之间的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：设h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，由e^x-1f（x+1）=e^x+1f（x-1），
得$\frac{f（x+1）}{{e}^{x+1}}$=$\frac{f（x-1）}{{e}^{x-1}}$．即h（x+1）=h（x-1），即h（x+2）=h（x），函数的周期是2，
由e^1-xf（x+1）=e^x+1f（1-x），
得$\frac{f（x+1）}{{e}^{x+1}}$=$\frac{f（1-x）}{{e}^{1-x}}$．即h（x+1）=h（1-x），即函数关于x=1对称，
h′（x）=[$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$]'=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵当x∈[0，1]时，f（0）=0，f（1）=e，f（x）-f′（x）＜0，
∴h′（x）=[$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$]'=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，此时函数h（x）在[0，1]上是增函数，
∴h（0）=0，h（1）=1，
由y=f（x）-$\frac{x{e}^{x}}{2016}$=0得$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{x}{2016}$，
即h（x）=$\frac{x}{2016}$，
作出函数h（x）和y=$\frac{x}{2016}$的图象如图：
当x∈[0，2016]时，在每个周期内，h（x）和y=$\frac{x}{2016}$的图象有2个交点，
则共有1008个周期，则函数y=f（x）-$\frac{x{e}^{x}}{2016}$零点的个数为2016，
故选：C

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件构造函数，判断函数的奇偶性，周期性和对称性，求函数的导数，研究函数的单调性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．