Question

9．已知曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ-$\frac{π}{3}$），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），其中（φ∈R），求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ-$\frac{π}{3}$），展开为ρ²=4ρ$（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．
（2）曲线C配方可得圆心及其半径．点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），可知：点Q在x²+y²=1圆上，可得|PQ|≤|OC|+R+r．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ-$\frac{π}{3}$），
展开为ρ²=4ρ$（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$，
可得直角坐标方程：x²+y²=2y-2$\sqrt{3}$x．
（2）x²+y²=2y-2$\sqrt{3}$x配方为$（x+\sqrt{3}）^{2}$+（y-1）²=4，
可得圆心C$（-\sqrt{3}，1）$，半径r=2．
点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），可知：点Q在x²+y²=1圆上．
∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离公式、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．