Question

【题目】如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.若猫眼曲线过点，且的公比为.

（1）求猫眼曲线的方程；

（2）任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；

（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析（3）

【解析】

试题（1）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，由题意得，再由成等比数列，且公比为得（2）弦中点问题，一般利用点差法得中点坐标与弦斜率关系：，，两式相除得值为（3）由椭圆几何意义得，过点且斜率为的直线与椭圆也相切，而直线与椭圆相切问题，一般利用判别式为零列等量关系，根据弦长公式可得底边长，根据平行直线间距离公式可得高

试题解析：解. （1），，

，

（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得证

（3）设直线的方程为

，

，

，

，

两平行线间距离：

，

的面积最大值为