Question

【题目】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF＝2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围为_____．

Answer 1

【答案】[]．

【解析】

作出平面MNQB1∥平面DEF，推导出P的轨迹是线段QN，P在Q处，tan∠ABP取最小值，P在N处，tan∠ABP取最大值，由此能求出tan∠ABP的取值范围．

解：如下图所示,上取一点，使得,

在上取中点,连，与交于，

则，所以，

即为中点，连交于，因为，

所以为中位线，

在正方体中，为中点，

则面面，

面，，同理可证面，

又，平面MNQB1平面DEF，

∵PB1∥平面DEF，∴P的轨迹是线段QN，

设正方体棱长为，

P在Q处，tan∠ABP取最小值tan，

P在N处，tan∠ABP取最大值tan∠ABP．

∴tan∠ABP的取值范围为[]．

故答案为：[]．