Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1．

（1）若k=-5，求f（x）的极值；

（2）若f（x）在区间（0，3）内单调，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）极大值是f（0）=-1，f（x）极小值是f（4）=-33；

（2）

【解析】

（1）代入k的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求出函数的极值；

（2）求出函数的导数，通过讨论对称轴的范围，得到函数的单调区间，从而确定k的范围即可．

解：（1）k=-5时，f（x）=x3-6x2-1，

f′（x）=3x2-12x，

令f′（x）＞0，解得：x＞4或x＜0，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜4，

故f（x）在（-∞，0）递增，在（0，4）递减，在（4，+∞）递增，

故x=0时，f（x）取极大值，且极大值是f（0）=-1，

x=4时，f（x）取极小值，且极小值是f（4）=-33；

（2）f′（x）=3x2+2（k-1）x+k+5=3-+k+5，

f′（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=，

①当≤0即k≥1时，f′（0）=k+5＞0且f′（x）在（0，3）递增，

故f′（x）＞0在（0，3）内恒成立，

故f（x）在（0，3）递增，即k≥1时满足题意；

②当≥3即k≤-8时，f′（0）=k+5＜0且f′（x）在（0，3）递减，

故f′（x）＜0在（0，3）内恒成立，

故f（x）在（0，3）内递减，即k≤-8满足题意；

③当0＜＜3即-8＜k＜1时，

（ⅰ）若-8＜k≤-5，则f′（0）=k+5≤0，

只需f′（3）=7k+26≤0即k≤ -，

此时f′（x）≤0在（0，3）内恒成立，

即f（x）在（0，3）递减，

（ⅱ）若-5＜k＜1，则f′（0）=k+5＞0，

此时只需f′（）=-+k+5≥0，

解得：

即-2≤k＜1时，f′（x）≥0在（0，3）内恒成立，

即-2≤k＜1时，f（x）在（0，3）递增，

综上，若f（x）在区间（0，3）内单调，实数k的范围是（-∞，-5]∪[-2，+∞）．