Question

当m为参数时，集合A={(x,y)∣x²+y²+x－6y+m=0}是以(－,3)为圆心的同心圆系，问m取何值时，直线x+2y－3=0与圆系中的某一个圆交于P,Q两点，满足条件OP⊥OQ(O为坐标原点).

Answer 1

m=3

设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),，则
由OP⊥OQ,得y₂=0
由消去y,得5x²+10x+4m－27="0   " ①
∴x₁+x₂=－2, x₁x₂=     ②
而P,Q在直线x+2y－3=0上，则
y₁y₂=(3－x₁)(3－x₂)=[9－3(x₁+x₂)+x₁x₂]=    ③
将②,③代入x₁x₂+y₁y₂=0解得m=3，将其代入①检验，⊿>0成立，故m=3为所求。