Question

8．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+2y≤3\\ 4x-y≥-6\end{array}\right.$，则$z={2^x}{（\frac{1}{4}）^y}$的最小值为$\frac{1}{32}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由$z={2^x}{（\frac{1}{4}）^y}$=2^x-2y，令t=x-2y，化为y=$\frac{x}{2}-\frac{t}{2}$，由图求出t的最小值，则答案可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+2y≤3\\ 4x-y≥-6\end{array}\right.$作出可行域如图，

$z={2^x}{（\frac{1}{4}）^y}$=2^x-2y，
令t=x-2y，化为y=$\frac{x}{2}-\frac{t}{2}$，
由图可知，当直线y=$\frac{x}{2}-\frac{t}{2}$过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值．
联立$\left\{\begin{array}{l}{4x-y=-6}\\{x+2y=3}\end{array}\right.$，解得A（-1，2），
∴t的最小值为-5．
∴$z={2^x}{（\frac{1}{4}）^y}$的最小值为${2}^{-5}=\frac{1}{32}$．
故答案为：$\frac{1}{32}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．