Question

17．如图，在五棱锥P-ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．
（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=$\sqrt{3}$，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S_△PBE=$\sqrt{3}$，点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE，推导出BE⊥PO，BE⊥AG，由此能证明平面PBE⊥平面APG．
（II）连接PF，推导出O点与F点重合，以O为原点，分别以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OG}，\overrightarrow{OP}$的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角M-AB-D的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，
过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE
∵BE?平面ABCDE，∴BE⊥PO，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE⊥AG…（2分）
∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，
∵BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面APG．…（4分）
解：（II）连接PF，
∵${S_{△PBE}}=\frac{1}{2}BE•PF=PF=\sqrt{3}=AF$
又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，
∴PF⊥底面ABCDE．…（6分）
∴O点与F点重合．
如图，以O为原点，分别以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OG}，\overrightarrow{OP}$的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．
底面ABCDE的一个法向量$\overrightarrow v=（0，0，1）$…（8分）
∵$A（0，-\sqrt{3}，0），B（1，0，0），C（1，\sqrt{3}，0），P（0，0，\sqrt{3}）$，∴$\overrightarrow{PC}=（1，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$，
设平面ABM的法向量$\overrightarrow u=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{AB}=（1，\sqrt{3}，0），\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PM}=（-\frac{2}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
∴$\overrightarrow u⊥\overrightarrow{AB}，\overrightarrow u⊥\overrightarrow{BM}$，∴$\overrightarrow u•\overrightarrow{AB}=0，\overrightarrow u•\overrightarrow{BM}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3}y=0\\-\frac{2}{3}x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}y+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}z=0\end{array}\right.$，取$x=\sqrt{3}$则$y=-1，z=\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow u=（\sqrt{3}，-1，\frac{3}{2}）$，…（10分）
∵二面角的法向量$\overrightarrow u，\overrightarrow n$分别指向二面角的内外，$\left?{\overrightarrow u，\overrightarrow n}\right＞$即为二面角的平面角，
∴cos＜$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{n}$＞$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{u}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{4+\frac{9}{4}}}$=$\frac{3}{5}$．
∴二面角M-AB-D的余弦值为$\frac{3}{5}$．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．