Question

16．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，$AP=BP=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB⊥平面PCM？并给出证明．
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m是AB的中点时，推导出AB⊥PM，AB⊥CM，从而得到AB⊥平面PCM．
（Ⅱ）取AB中点O，以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）当m是AB的中点时，AB⊥平面PCM．
证明如下：
∵AP=PB，∴AB⊥PM…（2分）
又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，∴AB⊥CM，
又 PM∩CM=M，∴AB⊥平面PCM．…（4分）
解：（Ⅱ）取AB中点O，
由AB=PC=2，$AP=BP=\sqrt{2}$，解得PO=1，$OC=\sqrt{3}$，
∴OP²+OC²=PC²，∴OP⊥OC…（6分）
以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O-xyz，
则B（0，1，0），$C（\sqrt{3}，0，0）$，P（0，0，1），$D（\sqrt{3}，-2，0）$，
∴$\overrightarrow{BC}=（\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{3}，0，-1）$，$\overrightarrow{DC}=（0，2，0）$
设平面DCP的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（1，y，z）$，则$\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{DC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}-z=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DC}=2y=0\end{array}\right.$，∴$z=\sqrt{3}$，y=0，∴$\overrightarrow{n_1}=（1，0，\sqrt{3}）$…（8分）
设平面BCP的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=（1，b，c）$，则$\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}-c=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}-b=0\end{array}\right.$，∴$c=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{n_2}=（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$…（10分）
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{4}{{2×\sqrt{7}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∵二面角B-PC-D为钝角，
∴二面角B-PC-D的余弦值为$-\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查满足线向垂直的点的位置的确定与证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．