Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=$\sqrt{2}$，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线CO与面ABC成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证明BC⊥AB₁，可证明AB₁垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB₁A₁，所以CO垂直于AB₁，只要在矩形ABB₁A₁内证明BD垂直于AB₁即可，可利用角的关系加以证明；
（Ⅱ）分别以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{OC}$，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答 （I）证明：由题意，因为ABB₁A₁是矩形，
D为AA₁中点，AB=1，AA₁=$\sqrt{2}$，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以在直角三角形ABB₁中，tan∠AB₁B=$\frac{AB}{B{B}_{1}}$，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD=$\frac{AD}{A{B}_{1}}$，
所以∠AB₁B=∠ABD，
又∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∠BAB₁+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB₁，
又因为CO⊥侧面ABB₁A₁，AB₁?侧面ABB₁A₁，
所以CO⊥AB₁
所以，AB₁⊥面BCD，
因为BC?面BCD，
所以BC⊥AB₁．
（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0，0），C（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B₁（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），D（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，0，0），
又因为$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=2$\overrightarrow{AD}$，所以${C}_{1}（\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$          
所以$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则根据$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{6}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$可得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）是平面ABC的一个法向量，
设直线CO与平面ABC所成角为α，则sinα=$\frac{|-\frac{\sqrt{6}}{3}|}{\frac{\sqrt{3}}{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．