Question

20．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F₁，F₂是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，设a₁是椭圆的长半轴，a₁是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出结果．

解答 解：设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，即4c²=m²+n²-mn，
设a₁是椭圆的实半轴，a₂是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a₂²-4c²+a₁²=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{3c}{{a}_{1}}$=1
即3e₁²=1
∴e₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故选：A．

点评 本题考查椭圆与双曲线的定义，考查了椭圆与双曲线的几何性质，是基础题．