Question

15．若?x∈[$\frac{1}{4}$，+∞），使得不等式e^x＜$\frac{x-m}{\sqrt{x}}$成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$）
• B． （$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$）
• D． （$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）

Answer 1

分析 不等式转化为m＜x-ex $\sqrt{x}$成立，令h（x）=x-ex $\sqrt{x}$，求出h（x）的导数，从而得到h（x）的单调性，进而h（x）＜h（0），从而求出m的范围；

解答 解：∵?x∈[$\frac{1}{4}$，+∞），使使得不等式e^x＜$\frac{x-m}{\sqrt{x}}$成立，
∴?x∈[$\frac{1}{4}$，+∞），使得m＜x-e^x$\sqrt{x}$成立，
令h（x）=x-e^x $\sqrt{x}$，则h′（x）=1-e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$），
当x∈[$\frac{1}{4}$，+∞）时，∵e^x＞${e}^{\frac{1}{4}}$＞1，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{2\sqrt{x}}}$=$\sqrt{2}$，
∴e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）＞1，
∴h′（x）＜0，从而h（x）在[$\frac{1}{4}$，+∞），上为减函数，
∴h（x）＜h（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$，
∴m＜$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{1}{4}}$，
故选：C．

点评 本题考查函数的恒成立问题，以及函数在闭区间上的值域的求法，不等式的解法，属于中档题．