Question

在平面直角坐标系中，已知双曲线.
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；（6分）
（3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）

Answer 1

（1）；（2）见解析；（3）定值为.

（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：.
过点A与渐近线平行的直线方程为，即.
解方程组，得.                       2分
所以所求三角形的面积1为.               4分
（2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，
故，即.                                       6分
由，得.
设P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，则.
又，所以

，故OP⊥OQ.         10分
（3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.
由，得，所以.
同理.                                        13分
设O到直线MN的距离为d，因为，
所以，即d=.
综上，O到直线MN的距离是定值.                          16分