Question

【题目】如图，四棱锥中，四边形是菱形，，，E是上一点，且，设.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由已知可得，，由直线与平面垂直的判定可得平面，得到，再由，进一步得到平面；

（2）由（1）知，平面，，以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设四边形的边长为4，，由列式求解a，可得所用点的坐标，再求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）证明：∵四边形是菱形，∴O是的中点，，

∵，，∴平面，

∵平面，∴.

∵，O是的中点，∴.

∵平面，平面，，

∴平面；

（2）解：由（1）知，平面，.

∴以O为坐标原点，以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设四边形的边长为4，.

∵四边形是菱形，，∴与都是等边三角形.

∴.

∴，，，，

，，.

∵，∴，

即，得.

∴，.

设平面的法向量为，

由，取，得；

设平面的一个法向量为，

由，取，得.

设二面角的平面角为，由图可得，为钝角，

则.

∴二面角的余弦值为.