Question

已知定义域为R的函数f（x）=

1-2x

2x-a

是奇函数．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断f（x）的单调性（不必证明）；
（Ⅱ）解不等式f（2x）+f（1-x）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用函数奇偶性的性质建立方程即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函数的奇偶性和单调性姜不等式f（2x）+f（1-x）＜0进行转化即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵定义域为R的函数f（x）=

1-2x

2x-a

是奇函数．
∴f（-1）=-f（1），
即

1- 1 2

1 2 -a

=-

1-2

2-a

，整理得

1

1-2a

=

1

2-a

，
则1-2a=2-a，则a=-1，
此时f（x）=

1-2x

2x-a

=

1-2x

2x+1

，
则f（-x）=

1-2-x

2-x+1

=-

1-2x

2x+1

=-f（x），
故满足条件，
∵f（x）=

1-2x

2x+1

=

2-(2x+1)

2x+1

=

2

2x+1

-2，
∴f（x）=

1-2x

2x+1

是减函数．
（Ⅱ）∵函数f（x）是奇函数，
∴不等式f（2x）+f（1-x）＜0等价为f（2x）＜-f（1-x）=f（x-1），
∵f（x）=

1-2x

2x+1

是减函数，
∴2x＞x-1，即x＞-1，
则不等式的解集为（-1，-∞）

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性求出a的值是解决本题的关键．