Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为

x=tcosα y=tsinα

（t为参数，0≤α＜π），圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0．若tanα=

1

2

，直线l与圆C交于A、B两点，求|OA|+|OB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l的参数方程代入圆的方程，由韦达定理可得t₁+t₂=|OA|+|OB|=8cosα．再由条件求得cosα的值，可得|OA|+|OB|的值．

解答： 解：圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0，化为直角坐标方程为x²+y²-8x+12=0即（x-4）²+y²=4，
表示以（4，0）为圆心、半径等于2的圆．
把直线l的参数方程

x=tcosα y=tsinα

代入圆的方程，可得 t²-8cosαt+12=0．
由韦达定理可得t₁•t₂=12＞0，t₁+t₂=|OA|+|OB|=8cosα．
再由直线l的倾斜角为α，且tanα=

1

2

，可得cosα=

2 5

5

，∴|OA|+|OB|=8×

2 5

5

=

16 5

5

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，韦达定理的应用，属于基础题．