Question

已知式子（2x²+

1

x

）⁵．
（Ⅰ）求展开式中含

1

x2

的项；
（Ⅱ）若（2x²+

1

x

）⁵的展开式中各二项式系数的和比（

x

+

2

x

）ⁿ的展开式中的第三项的系数少28，求n的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）在式子（2x²+

1

x

）⁵的通项公式中，令x的幂指数等于-2，求得r的值，可得展开式中含

1

x2

的项．
（Ⅱ）先求得（

x

+

2

x

）ⁿ的展开式中的第三项，结合题意可得题意可得2⁵=

C

2 n

×4-28，由此求得n的值．

解答： 解：（Ⅰ）式子（2x²+

1

x

）⁵的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

•2^5-r•x^10-3r，
令10-3r=-2，求得r=4，故展开式中含

1

x2

的项为 T₅=

C

4 5

×2×

1

x2

=

10

x2

．
（Ⅱ）（

x

+

2

x

）ⁿ的展开式中的第三项为 T₃=

C

2 n

•4•x

n

2

-3，
由题意可得，2⁵=

C

2 n

×4-28，解得

C

2 n

=15，∴n=6．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．