Question

如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF．
（Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥面BDG；
（Ⅱ）求二面角A-BF-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，利用三角形中位线定理得到OG∥AF，由此能证明AF∥面BDG．
（Ⅱ）以P为原点，PF为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，
连接OG，因为点G为FC中点，所以OG为△AFC的中位线，
所以OG∥AF…（2分）
∵AF?面BDG，OG?面BDG，
所以AF∥面BDG．…（4分）
（Ⅱ）解：取AD中点M，BC的中点Q，连接MQ，
则MQ∥AB∥EF，所以MQFE共面，
作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN=FP，
∵AE=DE=BF=CF，AD=BC，∴△ADE和△BCF全等，
∴EM=FQ，∴△ENM和△FPQ全等，
∴MN=PQ=1∵BF=CF，Q为BC中点，∴BC⊥FQ，
又BC⊥MQ，FQ∩MQ=Q，∴BC⊥面MQFE，
∴PF⊥BC，∴PF⊥面ABCD，…（6分）
以P为原点，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A（3，1，0），B（-1，1，0），C（-1，-1，0），
设F（0，0，h），则

AF

=(-3，-1，h)，

CF

=(1，1，h)，
∵AF⊥CF，∴

AF

•

CF

=0⇒-3-1+h2=0⇒h=2
设面ABF的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
∵

AF

=(-3，-1，2)，

BF

=(1，-1，2)
∴由

n1 • AF =0 n1 • BF =0

⇒

-3x1-y1+2z1=0 x1-y1+2z1=0

，
令z₁=1，得

n1

=(0，2，1)…（8分）
设面CBF的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，
∵

BF

=(1，-1，2)，

BC

=(0，-2，0)，
∴由

n2 • BF =0 n2 • BC =0

⇒

x2-y2+2z2=0 -2y2=0

，
令z₂=1，得

n2

=(-2，0，1)…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

5 × 5

=

1

5

设二面角A-BF-C的平面角为θ，
则cosθ=cos(π-＜

n1

，

n2

＞)=-cos＜

n1

，

n2

＞=-

1

5

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．