Question

如图，三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC．
（Ⅰ）设平面AEC∩平面DEF=a，求证DF∥a； 
（Ⅱ）若EF=CF=2BC，试同在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE，若存在，请确定G点的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得AC∥DF，所以DF∥平面ACE，由此能证明DF∥a．
（Ⅱ）线段BE上存在点G，且BG=

1

3

BE，使得平面DFG⊥平面CDE．利用三角形全等和三角形相似进行证明．

解答： （Ⅰ）证明：在三棱台ABC-DEF中，AC∥DF，
∵AC?平面ACE，DF?平面ACE，
∴DF∥平面ACE，
∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF=a，
∴DF∥a．
（Ⅱ）解：线段BE上存在点G，且BG=

1

3

BE，使得平面DFG⊥平面CDE，
证明如下：
取CE中点O，连结FO并延长交BE于点G，连结GD、GF，
∵CF=EF，∴GF⊥CE，
在三棱台ABC-DEF中，AB⊥BC，∴DE⊥EF，
由CF⊥平面DEF，得CF⊥DE，又CF∩EF=F，
∴DE⊥平面DEF，∴DE⊥GF，
∵GF⊥CE，GF⊥DE，CE∩DE=E，∴GF⊥平面CDE，
又GF?平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE，
此时，如平面图所示，∵O为CE中点，CF=EF=2BC，
由平面几何知识，得△HOC≌△FOE，
∴HB=BC=

1

2

EF，
由△HGB∽△FOE，得

BG

GE

=

1

2

，
∴BG=

1

3

BE．

点评：本题考查直线与直线垂直的证明，考查使得面面垂直的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．