Question

在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（b-c-a）（b-c+a）+bc=0．
（1）求∠A的大小；
（2）若f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式整理后代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出f（B）的范围．

解答： 解：（1）∵在锐角△ABC中，（b-c-a）（b-c+a）+bc=（b-c）²-a²+bc=b²+c²-a²-bc=0，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴A=60°；
（2）f（B）=

3

2

sinB+

1

2

（cosB+1）=

3

2

sinB+

1

2

cosB+

1

2

=sin（B+30°）+

1

2

，
∵锐角△ABC，0＜B＜90°，
∴30°＜B+30°＜120°，即

1

2

＜sin（B+30°）＜1，
则f（B）的取值范围为（1，

3

2

）．

点评：此题考查了余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．