Question

已知函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）-1．
（1）试探究函数f（x）的单调性．
（2）若f（2）=3，试解不等式f（x²）+f（1-4x）＜6．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，求出f（0）=1，令y=-x得到f（x）+f（-x）=2，令x₁＜x₂，由条件推出f（x₁）＜f（x₂），即可判断f（x）的单调性；
（2）运用赋值，求出f（4）=5，由条件，得到f[x²+（1-4x）]＜f（4），再由单调性，得到x²+（1-4x）＜4
求出解集即可．

解答： 解：（1）令x=y=0则f（0）=2f（0）-1，f（0）=1，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）-1=1，f（x）+f（-x）=2
令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时f（x）＞1
∴f（x₂-x₁）＞1
即f（x₂）+f（-x₁）-1＞1
∵f（-x₁）+f（x₁）=2
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数；
（2）∵f（2）=3，
∴f（4）=2f（2）-1=2×3-1=5
又f（x²）+f（1-4x）＜6即1+f[x²+（1-4x）]＜6
f[x²+（1-4x）]＜5=f（4）
∵f（x）在R上是增，
∴x²+（1-4x）＜4
∴2-

7

＜x＜2+

7

即解集为（2-

7

，2+

7

）．

点评：本题主要考查函数的单调性及应用，注意定义的运用，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，务必掌握．