Question

已知向量

a

=（2+cos（2x-

π

3

），sinx-cosx），

b

=（1，sinx+cosx），函数f（x）=

a

•

b

-m（x∈R）在区间[-

π

24

，

5π

12

]上的最小值为-

2

2

．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c．若A为锐角，且满足f（A）=1，sinB=2sinC，△ABC面积为

3

，求边长a．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据向量的数量积求得函数解析式，并利用两角和公式和二倍角公式化简，根据x的范围和正弦函数的单调性求得函数的最小值表达式进而求得m．
（Ⅱ）先根据f（A）=1求得A，进而根据正弦定理判断出b=2c，进而利用三角形面积求得bc的值，联立方程分别求得b和c，最后利用余弦定理求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

-m=2+cos(2x-

π

3

)+(sinx-cosx)(sinx+cosx)-m
=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x+2-m
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2-m
=sin(2x-

π

6

)+2-m，
因为x∈[-

π

24

，

5π

12

]，
则-

π

4

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，
函数f（x）在2x-

π

6

=-

π

4

时取得最小值-

2

2

+2-m=-

2

2

，解得m=2．         
（Ⅱ）由f（A）=1且A为锐角解得A=

π

3

，
又因为sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c，
又因为△ABC的面积为

3

，所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

即bc=4，
由①②解得b=2

2

，c=

2

，
又由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得a=

6

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理和余弦定理的应用．综合考查了学生运用三角函数知识分析和解决问题的能力．