Question

在三棱锥A-BCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（Ⅰ）若AC=BD，求证：四边形EFGH为菱形；
（Ⅱ）若AB=AD，BC=CD，且O为BD中点，求证：BD⊥平面AOC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线定理能证明四边形EFGH为菱形．
（Ⅱ）利用等腰三角形性质和直线与平面垂直的判定定理能证明BD⊥平面AOC．

解答： （Ⅰ）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH

∥

.

1

2

BD，FG

∥

.

1

2

BD，EF

∥

.

1

2

AC，HG

∥

.

1

2

AC，
∵AC=BD，∴四边形EFGH为菱形．
（Ⅱ）证明：∵AB=AD，BC=CD，且O为BD中点，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∵CO∩AO=O，
∴BD⊥平面AOC．

点评：本题考查四边形为菱形的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．