Question

【题目】已知长方形， ， ，以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)求以为焦点，且过两点的椭圆的标准方程；

(2)在(1)的条件下，过点作直线与椭圆交于不同的两点，设，点坐标为，若，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）确定的坐标，利用椭圆的定义，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合配方法，即可求的取值范围.

试题解析：(1)由题意可得点的坐标分别为， ， .设椭圆的标准方程是，则，∴.∴，∴椭圆的标准方程为.

(2)由题意容易验证直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.代入中，得.设， ，由根与系数关系，得①，②，∵，∴且，将上式①的平方除以②，得，即，所以，由 ，即.∵， ， ，又， .故 .令，∵，∴， ， ，∵，∴， .