Question

18．已知{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₃是方程x²-5x+6=0的两个实根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{${{a_n}•{2^n}}\right.$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）求出方程的根，求解数列的思想与公差，即可求解通项公式．
（2）利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）方程x²-5x+6=0的两个实根为2，3，由题意得a₂=2，a₃=3，设数列{a_n}的公差为d，
则d=a₃-a₂=3-2，=1，从而a₁=1，所以数列{a_n}的通项公式a_n=n．
（2）由（1）知，${a_n}•{2^n}=n•{2^n}$，
∴${S_n}=1×{2^1}+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n•{2^n}$①
∴$2{S}_{n}=1×{2}^{2}+2×{2}^{3}+…+（n-1）{•2}^{n}+n•{2}^{n+1}$②
①-②得，$-{S_n}=2+（{{2^2}+{2^3}+…+{2^n}}）-n•{2^{n+1}}=\frac{{2×（{1-{2^n}}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}$=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，∴${S_n}=（{n-1}）•{2^{n+1}}+2$．

点评 本题考查数列与函数相结合，数列通项公式以及数列求和，考查计算能力．