Question

已知圆C的圆心在直线x-y-1=0上，且与直线4x+3y+4=0相切，被直线3x+4y-5=0截得的弦长为4

2

，求圆C的方程．

Answer 1

分析：根据圆心C在直线x-y-1=0上，可设圆心为C（a，a-1），半径为r．根据直线4x+3y+4=0与圆C相切，利用点到直线的距离公式，列出点C到直线直线4x+3y+4=0距离等于r的式子；再根据圆C被直线3x+4y-5=0截得的弦长为4

2

，利用垂径定理，列出弦长一半与弦心距的平方和等于半径的平方．将两式联解，得到a、r的值，从而得到圆C的方程．

解答：解：∵圆C的圆心在直线x-y-1=0上，
∴设圆C的圆心为（a，a-1），半径为r，
结合圆C与直线4x+3y+4=0相切，得点C到直线4x+3y+4=0的距离等于半径r，
∴

|4a+3(a-1)+4|

42+32

=r…（1）
又∵圆C被直线3x+4y-5=0截得的弦长为4

2

，
∴(

1

2

×4

2

)2+(

|3a+4(a-1)-5|

42+32

)2=r2…（2）
（1）（2）联列方程组，解之得a=2，r=3
可得圆心为C（2，1），所以圆C的方程为：（x-2）²+（y-1）²=9．

点评：本题给出一个圆心在定直线上的圆，和已知的两条直线中的一条相切，另一条相交，求圆的方程．着重考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．