Question

如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

 

Answer 1

（1）x2＝4y （2）见解析

【解析】(1)依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°．

设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12．

因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2．故抛物线E的方程为x2＝4y．

(2)方法一：由(1)知y＝x2，y′＝x．

设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为

y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－．

由，得．

所以Q(，－1)．

设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝ (x0≠0)的点(x0，y0)恒成立．

由于＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)，

由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，

即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0　(*)．

由于(*)式对满足y0＝ (x0≠0)的y0恒成立，

所以，解得y1＝1．

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．