Question

【题目】已知正项等比数列{an}满足a1 ， 2a2 ， a3+6成等差数列，且a42=9a1a5 ，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（ an+1）an ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1，2a2，a3+6成等差数列，∴2×2a2=a3+6+a1，又a42=9a1a5，

∴ ，解得a1=q=3．

∴an=3n．

（2）解：bn=（ an+1）an=（2n+1）3n．

∴数列{bn}的前n项和Tn=3×3+5×32+…+（2n+1）3n．

3Tn=3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n+（2n+1）3n+1，

∴﹣2Tn=32+2×（32+33+…+3n）﹣（2n+1）3n+1= +3﹣（2n+1）3n+1=﹣2n3n+1，

∴Tn=n3n+1．

【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）bn=（ an+1）an=（2n+1）3n ． 再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．