Question

【题目】如图1是四棱锥的直观图，其正(主)视图和侧(左)视图均为直角三角形，俯视图外框为矩形，相关数据如图2所示.

(1)设中点为，在直线上找一点，使得平面，并说明理由；

(2)若二面角的平面角的余弦值为，求四棱锥的外接球的表面积.

Answer 1

【答案】(1) 见解析;(2) .

【解析】试题分析：(1)利用中位线定理构造平行四边形，得到;(2) 由二面角的平面角的余弦值为，得到，明确外接球的直径即为PB，易得四棱锥的外接球的表面积.

试题解析：

(1)当是中点时， 平面，

证明如下：取中点，连接、、，

在中， 、分别是、的中点，

∴是的中位线，

∴且，又是中点， ，

∴且，

∴四边形是平行四边形，

∴.

又∵平面， 平面，

∴平面.

(2)由三视图可得平面，

在底面中，过作交于点，连接，

∵平面， 平面，∴，

又， 平面，

平面，∵，∴平面，

又平面，∴，

∴是二面角的平面角，

在底面矩形， ， ，∴， ，

在中，又，

∴，∴.

由直观图易知四棱锥的外接球的直径即为，

∴.

故四棱锥的外接球的表面积为.