Question

如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的

2

倍，P为侧棱SD上的点，O是AC与BD的交点．
（1）求证：SO⊥平面ABCD；
（2）若SD⊥平面PAC，求直线SB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）直接利用题中的已知条件，利用线面垂直的判定定理求出结论．
（2）首先利用三角形的中位线，把线面的夹角进行转化，进一步利用线段的长求出所构成的直角三角形的边长，最后通过解三角形求得结果．

解答： 证明：（1）四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的

2

倍，
所以所有的侧棱长都相等．
即：SB=SD=SA=SC，O为底面ABCD的交点
所以：AO=CO，BO=BO
则：SO⊥AC，SO⊥BD
所以：SO⊥平面ABCD
（2）设底面边长为x，则侧棱长为

2

x，
利用勾股定理得：DO=

2

2

x，
取SD的中点E，
所以：OE∥SB
且OE=

1

2

SB=

2

2

x，
在Rt△SOD中，SO²+OD²=SD²
解得：SO=

6

2

x，
由于：SD⊥平面PAC
所以：PO⊥SD
利用三角形面积相等：OP•SD=SO•OD
解得：OP=

6

4

x
所以：cos∠EOP=

OE

OP

=

3

2

则：∠EOP=

π

6

由于OE∥SB，所以直线SB与平面PAC所成角即为OE与平面PAC所成角．
直线OE与平面PAC所成角为

π

6

，所以：直线SB与平面PAC所成角为

π

6

．
所以直线SB与平面PAC所成夹角的正弦值为

1

2

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定，勾股定理得应用，线面的夹角问题的应用，及相关的运算问题．属于基础题型．