Question

若|x+a|-|x-4|≤5-|a+1|（x∈R）恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值，可得f（x）的最大值小于或等于5-|a+1|，解绝对值不等式，求得a的范围．

解答： 解：因为f（x）=|x+a|-|x-4|=|x+a|-|4-x|≤|（x+a）+（4-x）|=|a+4|，
要使f（x）≤5-|a+1|恒成立，须使|a+4|≤5-|a+1|，
即|a+4|+|a+1|≤5，∴

-2a-5≤5 a＜-4

 ①，或

3≤5 -4≤a＜-1

②，或

2a+5≤5 a≥-1

③．
解①求得-5≤a＜-4，解②求得-4≤a＜-1，解③求得-1≤a≤0，
综合可得a的范围是[-5，0]．

点评：本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，函数恒成立问题的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档