Question

已知函数f（x）=

lnx

x

，g（x）=1-

1

x

．
（1）令F（x）=|xg（x）|-xf（x），求函数F（x）的最小值；
（2）若x＞1且x∈N^*，试证明f（2×1）+f（3×2）+…+f[x（x-1）]＜x+

1

x+1

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过求导得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值；
（2）由f(2×1)+f(3×2)+…+f[x(x-1)]=

ln(2×1)

2×1

+

ln(3×2)

3×2

+…+

ln[x(x-1)]

x(x-1)

＜(1-

1

2×1

)+(1-

1

3×2

)+…+[1-

1

x(x-1)

]，证出即可．

解答： 解：（1）F（x）=|x-1|-lnx，定义域为（0，+∞）
当x≥1时，F（x）=x-1-lnx，F′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，
∴F（x）在区间[1，+∞）上是递增函数．
当0＜x＜1时，F（x）=1-x-lnx，F′(x)=-1-

1

x

＜0，
∴F（x）在区间（0，1）上是递减函数
所以F（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（0，1），
因此F（x）_min=F（1）=0．
（2）由（1）可知，当x＞1时，有x-1-lnx＞0，即

lnx

x

＜1-

1

x

．
∴f(2×1)+f(3×2)+…+f[x(x-1)]=

ln(2×1)

2×1

+

ln(3×2)

3×2

+…+

ln[x(x-1)]

x(x-1)

＜(1-

1

2×1

)+(1-

1

3×2

)+…+[1-

1

x(x-1)

]
=x-1-[

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

x(x-1)

]
＜x-1-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

x(x+1)

]
=x-1-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

x

-

1

x+1

)=x-1-(

1

2

-

1

x+1

)
=x+

1

x+1

-

3

2

＜x+

1

x+1

，
故原不等式成立．

点评：本题考查了导数的应用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，本题有一定的难度．