Question

在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-

2

，0），（

2

，0），点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）不过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q．若以PQ为直径的圆过点A时，试判断直线l是否过定点？若过，请求出定点坐标，不过，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设点C坐标为（x，y），推出△ABC的重心故G点坐标为(

x

3

，

y

3

)，由|MC|=|MB|，求解△ABC的顶点C的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b与

x2

2

+

y2

6

=1的两交点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立：

y=kx+b x2 2 + y2 6 =1

利用韦达定理，结合

AP

•

AQ

=0，然后求解b与k的关系．求出直线系方程，然后求出直线过定点坐标．

解答： 解：（Ⅰ）设点C坐标为（x，y）
因为G为△ABC的重心故G点坐标为(

x

3

，

y

3

)，∴M(0，

y

3

)…（2分）
由|MC|=|MB|得∴x2+(

2

3

y)2=2+(

y

3

)2，…（3分）
即

x2

2

+

y2

6

=1(y≠0)
∴△ABC的顶点C的轨迹E的方程是

x2

2

+

y2

6

=1(y≠0)…（5分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx+b与

x2

2

+

y2

6

=1的两交点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立：

y=kx+b x2 2 + y2 6 =1

消去y得：（k²+3）x²+2kbx+b²-6=0…（7分）
∴△=4k²b²-4（k²+3）（b²-6）=12（2k²-b²+6）＞0，
且x1+x2=-

2kb

k2+3

，x1x2=

b2-6

k2+3

．…（8分）
若以PQ为直径的圆过点A时，则有

AP

•

AQ

=0．…（9分）
∴(x1+

2

)(x2+

2

)+y1y2=0，既有(x1+

2

)(x2+

2

)+(kx1+b)(kx2+b)=0，
故(k2+1)x1x2+(kb+

2

)(x1+x2)+b2+2=0，
代入整理得：2b2-

2

kb-2k2=0…（11分）∴b=-

2

2

k或b=

2

k．…（12分）
（1）当b=-

2

2

k．时，y=kx+b=k(x-

2

2

)直线过定点(

2

2

，0)，
且代入△＞0成立； …（13分）
（2）当b=

2

k时，y=kx+b=k(x+

2

)，直线过点(-

2

，0)，不合题意，舍去．
综上知：直线过定点(

2

2

，0)…14

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，轨迹方程的求法，直线系的应用，考查分析问题解决问题的能力．