Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，四边形A₁ACC₁是边长为2的正方形，AB=BC=

2

．
（1）求证：BC⊥AB₁；
（2）求三棱锥 B₁-ABC₁的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明BC⊥AA₁，BC⊥AB，推出BC⊥平面 ABB₁A₁，然后利用直线与平面垂直的性质定理证明 BC⊥AB₁．
（2）直接利用三棱锥的体积与三棱柱的体积关系，转化求解三棱锥的体积即可．

解答： （1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，∴BC⊥AA₁，
又∵AB=BC=

2

，AC=2，
∴AC²=A B²+BC²，
∴BC⊥AB，
而 AA₁∩AB=A，且AA₁、AB?平面ABB₁A₁
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
而AB₁?平面ABB₁A₁
故BC⊥AB₁．

（2）解：∵VB1-ABC1=VC1-ABB1=

1

3

×

1

2

S矩形ABB1A1×B1C1=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

2

=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．