Question

已知函数f（x）=xcos

πx

λ

，存在f（x）的零点x₀，（x₀≠0），满足[f′（x₀）]²＜π²（λ²-x₀²），则λ的取值范围是（　　）

• A、（-

  3

  ，0）∪（0，

  3

  ，）
• B、（-

  3

  3

  ，0）∪（0，

  3

  3

  ）
• C、（-∞，-

  3

  ）∪（

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，-

  3

  3

  ）∪（

  3

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：关键题意得出

πx0

λ

=kπ+

π

2

，k∈z，x₀=kλ+

λ

2

，k∈z，x₀²的最小值为

λ2

4

，即sin

πx0

λ

=±1，运用最小值得出：（1+λ²）•

λ2

4

＜λ⁴，求解即可．

解答： 解：∵函数f（x）=xcos

πx

λ

，
∴f′（x）=cos

πx

λ

-x•

π

λ

sin

πx

λ

，
∵存在f（x）的零点x₀，（x₀≠0），
∴

πx0

λ

=kπ+

π

2

，k∈z，x₀=kλ+

λ

2

，k∈z，x₀²的最小值为

λ2

4

即sin

πx0

λ

=±1，
∴[f′（x₀）]²＜π²（λ²-x₀²），转化为：

π2 x 2 0

λ2

＜π²（λ²-x₀²），
（1+λ²）x

2 0

＜λ⁴，
即只需满足：（1+λ²）•

λ2

4

＜λ⁴，
化简得：λ²＞

1

3

，
即λ＞

3

3

或λ＜-

3

3

．
故选：D．

点评：本题综合考查了函数的零点，综合求解不等式，关键是确定x₀²的最小值为

λ2

4

，代入得出转化的不等式，难度较大，属于难题．